Question

17．某甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为$\frac{1}{2}$，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们各自独立地射击两次，设乙命中10环的次数为ξ，且ξ的数学期望Eξ=$\frac{4}{3}$，η表示甲与乙命中10环的次数的差的绝对值．
（1）求s的值及η的分布列，
（2）求η的数学期望．

Answer 1

分析 （1）依题意知ξ∽B（2，s），由Eξ=2s=$\frac{4}{3}$，得s=$\frac{2}{3}$，η的取值可以是0，1，2，分别求出相的应的概率，由此能求出η的分布列．
（2）由η的分布列，能求出η的数学期望．

解答 解：（1）依题意知ξ∽B（2，s），故Eξ=2s=$\frac{4}{3}$，∴s=$\frac{2}{3}$，（2分）．
η的取值可以是0，1，2
甲、乙两人命中10环的次数均为0次的概率是$（\frac{1}{2}）^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{1}{36}$，
甲、乙两人命中10环的次数均为1次的概率是$（\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}）（\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}）$=$\frac{2}{9}$，
甲、乙两人命中10环的次数均为2次的概率是$（\frac{1}{2}×\frac{1}{2}）（\frac{2}{3}×\frac{2}{3}）=\frac{1}{9}$，
∴P（η=0）=$\frac{1}{36}+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}$=$\frac{13}{36}$，（4分）
甲命中10环的次数为2次且乙命中10环的次数为0次的概率是$（\frac{1}{2}×\frac{1}{2}）（\frac{1}{3}×\frac{1}{3}）=\frac{1}{36}$，
甲命中10环的次数为0次且乙命中10环的次数为2次的概率是$（\frac{1}{2}×\frac{1}{2}）（\frac{2}{3}×\frac{2}{3}）=\frac{1}{9}$．
∴P（η=2）=$\frac{1}{36}+\frac{1}{9}$=$\frac{5}{36}$，（6分）
∴P（η=1）=1-P（η=0）-P（η=2）=1-$\frac{13}{36}-\frac{5}{36}$=$\frac{1}{2}$，（7分）
故η的分布列是：

η	0	1	2
P	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{36}$

（8分）
（2）Eη=$0×\frac{13}{36}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{5}{36}$=$\frac{7}{9}$．（10分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．