Question

已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点，
（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；
（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．

Answer 1

分析：（1）直线方程为（2x+y-5）+λ（x-2y）=0，根据点A（5，0）到l的距离为3，建立方程解出 λ值，即得直线方程．
（2）先求出交点P的坐标，当l⊥PA时，点A（5，0）到l的距离的最大值，故最大值为|PA|．

解答：解：（1）经过两已知直线交点的直线系方程为
（2x+y-5）+λ（x-2y）=0，即（2+λ）x+（1-2λ）y-5=0，
∵点A（5，0）到l的距离为3，∴

|10+5λ-5|

(2+λ)2+(1-2λ)2

=3．
即  2λ2-5λ+2=0，∴λ=2，或

1

2

，∴l方程为x=2或4x-3y-5=0．
（2）由

2x+y-5=0 x-2y=0

解得，交点P（2，1），如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）．
∴d_max=|PA|=

10

．

点评：本题考查用待定系数法求直线方程，求两直线的交点的坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想．