Question

5．已知直线l：ax+2y+3=0和圆C：（x-2）²+（y+3）²=4，且直线l和直线2x-y+5=0垂直．
（1）求实数a； 
（2）若直线l与圆C交于点A、B，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用两直线垂直，斜率乘积等于-1，即可求a的值．
（2）直线l与圆C交于点A、B，求出弦长AB，利用圆心到直线l的距离就是高，可得△ABC的面积．

解答 解：（1）由题意：直线l：ax+2y+3=0与直线2x-y+5=0垂直，
可得：$-\frac{a}{2}×2=-1$，
解得：a=4．
故得实数a的值为：4．
所以直线l为：4x+2y+3=0．
（2）由（1）可得直线l为：4x+2y+3=0．圆C：（x-2）²+（y+3）²=4，圆心（2，-3），半径r=2．
直线l与圆C交于点A、B，
圆心到直线的距离d=$\frac{|4×2-2×3+3|}{\sqrt{16+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{5}{4}}$=$\sqrt{11}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|×d=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}×\sqrt{11}=\frac{\sqrt{55}}{4}$．

点评 本题考了两条直线垂直的斜率关系和直线与圆的弦长的运用问题．属于基础题．