Question

16．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）若A、B两点的纵坐标分别为$\frac{4}{5}$、$\frac{12}{13}$，求cosα和cosβ的值；
（2）在（1）的条件下，求cos（β-α）的值；
（3）在（1）的条件下，求$\frac{sin2α-co{s}^{2}α}{1+cos2α}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接由三角函数的定义写出sinα，sinβ的值，由同角三角函数的基本关系式求解cosα，cosβ的值；
（2）利用cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα，直接求解即可．
（3）利用二倍角公式化简表达式，代入求解即可．

解答 解：（1）根据三角函数的定义，得sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，
sinβ=$\frac{12}{13}$，又β是钝角，∴cosβ=-$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=-$\frac{5}{13}$；
（2）∵cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=$-\frac{5}{13}×\frac{3}{5}+\frac{12}{13}×\frac{4}{5}$=$\frac{33}{65}$．
（3）$\frac{sin2α-co{s}^{2}α}{1+cos2α}$=$\frac{2sinαcosα-co{s}^{2}α}{2co{s}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{4}{5}-\frac{3}{5}}{2×\frac{3}{5}}$=$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式，以及两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式，属中档题．