Question

6．已知椭圆$\frac{8{x}^{2}}{81}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1上一点M（x₀，y₀），且x₀＜0，y₀=2．
（1）求x₀的值；
（2）求过点M且与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1共焦点的椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）把M的纵坐标代入$\frac{8{x}^{2}}{81}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1，求x₀的值；
（2）设过点M且与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1共焦点的椭圆的方程，把M点坐标代入即可得出结论．

解答 解：（1）把M的纵坐标代入$\frac{8{x}^{2}}{81}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1，得$\frac{8{x}^{2}}{81}$+$\frac{4}{36}$=1，即x²=9．
∴x=±3．故M的横坐标x₀=-3．
（2）对于椭圆$\frac{x2}{9}$$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，焦点在x轴上且c²=9-4=5，故设所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-5}$=1（a²＞5），
把M点坐标代入得$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}-5}$=1，解得a²=15（a²=3舍去）．
故所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{10}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．