已知函数fn(x)=a1x+a2x2+a3x3+-+anxn.且fnnn.n∈N*.设函数g(n)=$\left\{\begin{array}{l}{{a} {n}.n为奇数}\\{g.n为偶数}\end{array}\right.$.若bn=g(2n+4).n∈N*.则数列{bn}的前n项和Sn等于$\left\{\begin{array}{l}{6.n=2}\\{{2}^{n}+n.n� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知函数f_n（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且f_n（-1）=（-1）ⁿn，n∈N^*，设函数g（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为奇数}\\{g（\frac{n}{2}），n为偶数}\end{array}\right.$，若b_n=g（2ⁿ+4），n∈N^*，则数列{b_n}的前n（n≥2）项和S_n等于$\left\{\begin{array}{l}{6，n=2}\\{{2}^{n}+n，n≥3}\end{array}\right.$．

分析由分段函数，求得b_n=a${\;}_{{2}^{n-2}+1}$，再由函数f_n（x），求得n=1时，a₁=1，将n换为n-1，作差可得a_n=2n-1，进而得到
b_n=2^n-1+1，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答解：由函数g（n）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n为奇数}\\{g（\frac{n}{2}），n为偶数}\end{array}\right.$，
可得b_n=g（2ⁿ+4）=g（2^n-1+2）=g（2^n-2+1）=a${\;}_{{2}^{n-2}+1}$，
由函数f_n（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且f_n（-1）=（-1）ⁿn，
可得-a₁+a₂-a₃+…+a_n（-1）ⁿ=（-1）ⁿn，①
n=1时，-a₁=-1，可得a₁=1；
n≥2时，-a₁+a₂-a₃+…+a_n-1（-1）^n-1=（-1）^n-1（n-1），②
①-②可得a_n（-1）ⁿ=（-1）ⁿn-（-1）^n-1（n-1），
化简可得a_n=2n-1，对n=1也成立．
b_n=g（2ⁿ+4），可得b₁=g（6）=g（3）=a₃=5，
b₂=g（8）=g（4）=g（2）=g（1）=a₁=1，
b₃=g（12）=g（6）=g（3）=a₃=5，
则b_n=a${\;}_{{2}^{n-2}+1}$=2^n-1+1，n≥3，
则数列{b_n}的前n（n≥2）项和S_n等于5+1+（4+…+2^n-1）+n-2
=6+4•$\frac{1-{2}^{n-2}}{1-2}$+n-2=2ⁿ+n．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{6，n=2}\\{{2}^{n}+n，n≥3}\end{array}\right.$．