Question

π是圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.

(1)写出命题p的否定并判断真假；

(2)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；

(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？并证明你的结论．

Answer 1

解　(1)原命题p的否定是：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．假命题．

(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”，真命题．

否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”，真命题．

逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”，真命题．

(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件．

证明如下：

充分性：若a＝c，则aπ＝cπ，

∵b＝d，∴aπ＋b＝cπ＋d.

必要性：∵aπ＋b＝cπ＋d，∴aπ－cπ＝d－b，

即(a－c)π＝d－b.

∵d－b∈Q，∴a－c＝0，d－b＝0，即a＝c，b＝d.

∴“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件．