Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上顶点为A，右顶点为B，离心率e=

2

2

，O为坐标原点，圆O：x²+y²=

2

3

与直线AB相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y=k（x-2）（k≠0）与椭圆C相交于E、F两不同点，若椭圆C上一点P满足OP∥l．求△EPF面积的最大值及此时的k²．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出直线AB的方程为：

x

a

+

y

b

=1，利用圆O与直线AB相切，列出关系式，设椭圆的半焦距为c，通过b²+c²=a²，利用离心率，求出a，b，得到椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）了直线与椭圆方程，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），利用韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离，求出S△EPF=S△EOF=

1

2

|EF|d=2

2

k2(1-2k2) (1+2k2)2

分离常数，利用二次函数的最值，求解△EPF的面积的最大值，以及k的中．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，直线AB的方程为：

x

a

+

y

b

=1，即为bx+ay-ab=0
因为圆O与直线AB相切，所以

|ab|

b2+a2

=

2 3

，

a2b2

b2+a2

=

2

3

…①…（2分）
设椭圆的半焦距为c，因为b²+c²=a²，e=

c

a

=

2

2

，
所以

a2-b2

a2

=

1

2

…②…（3分）
由①②得：a²=2，b²=1
所以椭圆C的标准方程为：

x2

2

+y2=1…（5分）
（Ⅱ）由

x2 2 +y2=1 y=k(x-2)

可得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）
则x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

…（7分）
所以|EF|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

8-16k2 (1+2k2)2

又点O到直线EF的距离d=

|2k|

1+k2

，
∵OP∥l，∴S△EPF=S△EOF=

1

2

|EF|d=2

2

k2(1-2k2) (1+2k2)2

…（10分）
又因为△=8-16k2＞0⇒k2＜

1

2

，又k≠0，∴0＜k2＜

1

2

令t=1+2k²∈（1，2），则

k2(1-2k2)

(1+2k2)2

=-

1

2

-

1

t2

+

3

2t

=-(

1

t

-

3

4

)2+

1

16

，
所以当t=

4

3

，k2=

1

6

时，

k2(1-2k2)

(1+2k2)2

最大值为

1

16

所以当k2=

1

6

时，△EPF的面积的最大值为

2

2

…（13分）

点评：本题考查椭圆的方程的求法，直线与圆的我最关心，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想的应用．