Question

11．直线l过点P（2，1），与x轴，y轴的正半轴分布交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）当直线l的斜率k=-1时，求△AOB的外接圆的面积；
（2）当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）当直线l的斜率k=-1时，直线l的方程为y-1=-（x-2），求出A，B的坐标，即可求△AOB的外接圆的面积；
（2）设直线l：y-1=k（x-2），求出A，B的坐标，表示面积，利用基本不等式，即可求出当△AOB的面积最小时，直线l的方程．

解答 解：当直线l的斜率k=-1时，直线l的方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0，可得A（3，0），B（0，3），|AB|=3$\sqrt{2}$，
且△AOB是直角三角形，AB为斜边，故△AOB的外接圆半径$r=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$…（4分）
所以外接圆的面积$s=π{（{\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}）^2}=\frac{9π}{2}$…（5分）
（2）由题知直线l的斜率k存在，且k＜0，设直线l：y-1=k（x-2），
令x=0，y=1-2k；令$y=0，x=2-\frac{1}{k}$，…（7分）
${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{2-\frac{1}{k}}||{1-2k}|=\frac{1}{2}（{\frac{1-2k}{-k}}）（{1-2k}）=-\frac{1}{2}（{\frac{1}{k}+4k-4}）（{k＜0}）$，
由勾函数知，当$k=-\frac{1}{2}$时，S_△AOB最小…（9分）
故直线l的方程为$y-1=-\frac{1}{2}（{x-2}）$，即x+2y-4=0…（10分）

点评 本题考查圆的面积，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．