Question

17．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”．则下列有关说法中：
①对于圆O：x²+y²=1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
②函数f（x）=sinx+1是圆O：x²+（y-1）²=1的一个太极函数；
③存在圆O，使得f（x）=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$是圆O的一个太极函数；
④直线（m+1）x-（2m+1）y-1=0所对应的函数一定是圆O：（x-2）²+（y-1）²=R²（R＞0）的太极函数；
⑤若函数f（x）=kx³-kx（k∈R）是圆O：x²+y²=1的太极函数，则k∈（-2，2）．
所有正确的是②④⑤．

Answer 1

分析 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可．

解答 解：对①显然错误，如图

对②，点（0，1）均为两曲线的对称中心，且f（x）=sinx+1能把圆一分为二，正
对③，函数为奇函数f（x）=$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{e}^{x}-1}$，当x→0（x＞0）时，
f（x）→+∞，
当x→+∞时，f（x）→1，[f（x）＞1]，函数递减；
当x→0（x＜0）时，f（x）→-∞，
当x→-∞时，f（x）→-1，[f（x）＜-1]，
函数f（x）关于（0，0）中心对称，有三条渐近线y=±1，x=0，
可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件．
对于④直线（m+1）x-（2m+1）y-1=0恒过定点（2，1），满足题意．
对于⑤函数f（x）=kx³-kx为奇函数，与圆的交点恒坐标为（-1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k{x}^{3}-kx}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴k²x⁶-2k²x⁴+（1+k²）x²-1=0，
令t=x²，得k²t³-2k²t²+（1+k²）t-1=0，
即（t-1）（k²t²-k²t²+1）=0
得t=1即x=±1；
对k²t²-k²t²+1，当k=0时显然无解，△＜0即0＜k²＜4时也无解，
即k∈（-2，2）时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分．
若k=±2时，函数图象与圆有4个交点，
若k²＞4时，函数图象与圆有6个交点，均不能把圆一分为二．
，
故所有正确的是②④⑤
故答案为：②④⑤

点评 本题考查函数的奇偶性的应用，命题真假的判断，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力．