Question

13．已知{a_n}是等差数列且公差d＞0，a₁=1且a₂，a₄，a₈是等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前2016项和T₂₀₁₆．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，则$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），利用“裂项求和”可得．

解答 解：（1）∵a₁=1且a₂，a₄，a₈是等比数列，
∴a₄²=a₂•a₈，
∴（1+3d）²=（1+d）×（1+7d），
化为d²-d=0，
∵d≠0，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n，
（2）∵{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T₂₀₁₆=2（$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=2（1-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{4032}{2017}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．