Question

9．已知函数$f（x）={x^2}+\sqrt{2}（m-1）x+\frac{m}{4}$，现有一组数据（数据量较大），从中随机抽取10个，绘制所得的茎叶图如图所示，且茎叶图中的数据的平均数为2．（茎叶图中的数据均为小数，其中茎为整数部分，叶为小数部分）
（Ⅰ）现从茎叶图的数据中任取4个数据分别替换m的值，
求至少有2个数据使得函数f（x）没有零点的概率；
（Ⅱ）以频率估计概率，若从该组数据中随机抽取4个数据分别替换m的值，记使得函数f（x）没有零点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义列方程求出a的值；利用判别式△＜0求出函数f（x）没有零点时m的取值范围，再利用对立事件的概率公式计算所求的概率值；
（Ⅱ）根据题意知ξ的所有可能取值，求出对应的概率，写出ξ的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）根据茎叶图中的数据，计算平均数为
$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$×（0.3+0.1×a+0.5+1.4+1.9+1.8+2.3+3.2+3.4+4.5）=2，
解得a=7；
从茎叶图10个数据中任取4个，有${C}_{10}^{4}$=210种不同的取法；
函数f（x）=x²+$\sqrt{2}（m-1）x+\frac{m}{4}$中，
△=2（m-1）²-m=2m²-5m+2，
令△＜0，解得$\frac{1}{2}$＜m＜2，
∴满足函数f（x）没有零点的数据是0.7，1.4，1.8，1.9共4个；
用抽出的4个数分别替换m的值，至少有2个数据使得函数f（x）没有零点的概率为
P=1-$\frac{{C}_{4}^{0}{•C}_{6}^{4}}{210}$-$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{6}^{3}}{210}$=$\frac{23}{42}$；
（Ⅱ）满足函数f（x）没有零点的数据有4个，
∴ξ的所有可能取值分别为0，1，2，3，4；
则P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{15}{210}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{80}{210}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{•C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{90}{210}$，
P（ξ=3）=$\frac{{{C}_{4}^{3}C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{24}{210}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{210}$；
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{15}{210}$	$\frac{80}{210}$	$\frac{90}{210}$	$\frac{24}{210}$	$\frac{1}{210}$

数学期望为Eξ=0×$\frac{15}{210}$+1×$\frac{80}{210}$+2×$\frac{90}{210}$+3×$\frac{24}{210}$+4×$\frac{1}{210}$=$\frac{336}{210}$=1.6．

点评 本题考查了茎叶图以及判别式与函数零点的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合题．