题目内容
设
，
是两个相互垂直的单位向量，且
=2
+
，
=
-λ
（1）若
⊥
，求λ的值；
（2）当λ=0时，求
，
夹角的余弦值．
| e1 |
| e2 |
| a |
| e1 |
| e2 |
| b |
| e1 |
| e2 |
（1）若
| a |
| b |
（2）当λ=0时，求
| a |
| b |
分析：（1）根据两个向量垂直的性质可得
•
=0，即2
2+(1-2λ)
-λ
2=0 再由
2=
2=1，
=0，化简求得 λ的值．
（2）由条件求得|
|、
•
、|
|的值，在利用两个向量的夹角公式求得
，
夹角的余弦值．
| a |
| b |
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
（2）由条件求得|
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
解答：解：（1）∵
⊥
，∴
•
=0，即(2
+
)•(
-λ
)=0．…（1分）
化简得2
2+(1-2λ)
-λ
2=0．…（2分）
又
，
是两个相互垂直的单位向量，∴
2=
2=1，
=0．…（3分）
∴2-λ=0，解得 λ=2．…（4分）
（2）当λ=0时，
=
-λ
=
，|
|=1，
•
=(2
+
)•
=2
2=2，…（5分）
∵|
|2=
2=(2
+
)2=4
2+4
•
+
2=5，∴|
|=
…（7分）
∴cos＜
，
＞=
=
=
．…（9分）
| a |
| b |
| a |
| b |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
化简得2
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
又
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
∴2-λ=0，解得 λ=2．…（4分）
（2）当λ=0时，
| b |
| e1 |
| e2 |
. |
| e1 |
| b |
| a |
| b |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e1 |
∵|
| a |
| a |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
| a |
| 5 |
∴cos＜
| a |
| b |
| ||||
|
|
| 2 | ||
|
2
| ||
| 5 |
点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量垂直的性质，属于中档题．
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=-（2e1+e2），
=e1-λe2．