题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知 $数学公式$ ，a=2， $数学公式$ ，求△ABC的面积．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$ =sin2xcos $\text{[math]}$ +cos2xsin $\text{[math]}$ +cos2x
= $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．
令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
函数f（x）的单调递增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（Ⅱ）由已知 $\text{[math]}$ ，可得 sin（2A+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以 $\text{[math]}$ ＜2A+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
因此，2A+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得A= $\text{[math]}$ ．
由正弦定理 $\text{[math]}$ ，得b= $\text{[math]}$ ，…（10分）
由A= $\text{[math]}$ ，由B= $\text{[math]}$ ，可得 sinC= $\text{[math]}$ ，…（12分）
∴S= $\text{[math]}$ ab•sinC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为 $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由已知 $\text{[math]}$ ，可得 sin（2A+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，求得A= $\text{[math]}$ ，再利用正弦定理求得b的值，由三角形内角和公式求得C的值，再由 S= $\text{[math]}$ ab•sinC，运算求得结果．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性，正弦定理以及根据三角函数的值求角，属于中档题．