Question

已知椭圆：（）的焦距为，且过点.

（1）求椭圆的方程和离心率；

（2）设（）为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为.取点，连

结，过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点.试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.

 

Answer 1

（1）椭圆的方程为， 离心率；（2）直线与椭圆相切，证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据条件椭圆：的焦距为，且过点，因此可以建立关于，的方程组：，从而解得，因此椭圆方程为，离心率；（2）根据题意可知，要判断直线与椭圆的位置关系，只需将直线与椭圆的方程联立，并判断消去以后的一元二次方程组的根的情况即可，联系（1），从而将问题转化为求直线的表达式，进一步转化为求点的坐标，再利用条件点是点关于轴的对称点，因此只需求得点的坐标即可，而根据条件，可求得，从而，故方程为，联立方程组 ，

代入消元得 ，利用，化简得，

∴，故方程组有两组相同的实数解，∴直线与椭圆相切. .

试题解析：（1）由题设，得， 2分

解得，故椭圆的方程为，4分 离心率；5分

（2）由题意知点，设点，则，又，

由，得，，， 7分

由点是点关于轴的对称点，得点，8分

直线的斜率为，

∵点在椭圆上，故，即，

∴直线的斜率为，其方程为， 10分

联立方程组 ，11分 代入消元得 ，

利用，化简得， 12分

∴，故方程组有两组相同的实数解，∴直线与椭圆相切. 13分.

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.