Question

7．已知圆O：x²+y²=1与x轴交于A，B两点，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且与圆O恰有两个公共点．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图过点M（-2，0）作直线l与圆相切于点N，设椭圆的两个焦点分别为F₁，F₂，求三角形△NF₁F₂的面积．

Answer 1

分析 （1）通过圆O与椭圆C有两个公共点可知b=r=1，进而利用离心率及a、b、c三者之间的关系计算可知a=$\sqrt{2}$、c=1，进而可得结论；
（2）通过连结ON，在Rt△ONM中利用勾股定理可知MN=$\sqrt{3}$，利用三角形面积的不同计算方法可知点N到F₁F₂的距离h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，进而计算即得结论．

解答 解：（1）∵圆O与椭圆C有两个公共点，
∴b=r=1，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c²=a²-b²，
∴a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）连结ON，则在Rt△ONM中，OM=2，ON=1，MN=$\sqrt{O{M}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵S_△OMN=$\frac{1}{2}$ON•OM=$\frac{1}{2}$OM•h，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即点N到F₁F₂的距离h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵F₁F₂=2c=2，
∴${S}_{△N{F}_{1}F}$=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查数形结合能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．