Question

命题p：方程2x²+mx-2m²-5m-3=0有一正根一负根；
命题q：函数在R上有极值；
若命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：根据命题“p或q”为真命题，而命题“p且q”为假命题，我们易判断命题p与命题q一真一假，再由命题p：方程2x²+mx-2m²-5m-3=0有一正根一负根；命题q：函数在R上有极值．我们根据二次方程根与系数的关系（韦达定理）及二次函数零点个数的判断方法，得到命题p与命题q对应的参数a的取值范围，分类讨论后，即可得到答案．
解答：解：对命题p，令f（x）=2x²+mx-2m²-5m-3，则f（0）＜0，即2m²+5m+3＞0，解得； （4分）
当命题q为真时：（6分）∴m²-3m-4＞0
故m＞4或m＜-1                                                     （8分）
当命题p或q为真，p且q为假，即p与q有且仅有一个成立∴（10分）
∴．（12分）
点评：掌握简易逻辑的有关知识，学会数形结合的数学思想，理解二次方程与二次函数之间的关系，一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是二次函数的图象与y轴相交于负半轴；而二次函数的图象与x轴有公共点的充要条件是二次方程有根，即△≥0．