Question

2．已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|+|x-a|．
（I）当a=1时，解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）当a=3时，若f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1时，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；
（Ⅱ）a=3时，通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=2|x-1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{4-3x，x≤1}\\{x，1＜x＜2}\\{3x-4，x≥2}\end{array}\right.$，
x≤1时，4-3x≤2，解得：$\frac{2}{3}$≤x≤1，
1＜x＜2时，x≤2，∴1＜x＜2，
x≥2时，3x-4≤2，∴x=2，
综上，不等式的解集是{x|$\frac{2}{3}$≤x≤2}；
（Ⅱ）a=3时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{6-3x，x≤1}\\{4-x，1＜x≤2}\\{x，2＜x≤3}\\{3x-6，x＞3}\end{array}\right.$，
x≤1时，6-3x≥3，∴f（x）≥3，
1＜x≤2时，2≤4-x＜3，∴2≤f（x）＜3，
2＜x≤3时，2＜f（x）≤3，
x＞3时，3x-6＞3，∴f（x）＞3，
综上，x=2时，f（x）的最小值是2，
若f（x）≥m恒成立，则m≤2，
故实数m的范围是（-∞，2]．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．