Question

20．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=3+tcosα\end{array}\right.$（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，曲线C的方程ρ=8sinθ．
（1）求曲线C的直角坐标系方程；
（2）若点P（1，3），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由ρ=8sinθ，得ρ²=8ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t²+2（cosα-sinα）t-12=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

解答 解：（1）由ρ=8sinθ，得ρ²=8ρsinθ，化为直角坐标方程为x²+y²=8y，x²+（y-4）²=16
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t²+2（cosα-sinα）t-12=0，
由△=4（cosα-sinα）²+48＞0，△=（2cosα-2sinα）²+4×7＞0，
故可设t₁，t₂上上述方程的两根，
所以$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=-2（cosα-sinα）\\{t_1}{t_2}=-12\end{array}\right.$，又直线过点（1，3），故结合t的几何意义得$|PA|+|PB|=|{t_1}+{t_2}|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}$
=$\sqrt{4{{（cosα-sinα）}^2}+48}$=$\sqrt{52-4sin2α}≥4\sqrt{3}$，
所以PA|+|PB|的最小值为$4\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．