Question

8．已知函数$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}+bx$且函数y=f（x）图象上点（1，f（1））处的切线斜率为0．
（1）试用含有a的式子表示b，并讨论f（x）的单调性；
（2）对于函数图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）如果在函数图象上存在点M（x₀，y₀），（x₀∈（x₁，x₂））使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“跟随切线”．特别地，当${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$时，又称AB存在“中值跟随切线”．试问：函数f（x）上是否存在两点A，B使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出A，B的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的定义求得函数的定义域，根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，利用f′（1）=0，代入导函数化简即可得到a与b的关系式，用a表示出b；然后分别令导函数大于0和小于0得到关；
（2）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+b=0，
∴b=a-1，∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+a-1=-$\frac{（ax+1）（x-1）}{x}$，
当f′（x）＞0时，∵x＞0，a＞0，解得0＜x＜1，
当f′（x）＜0时，∵x＞0，a＞0，解得x＞1，
∴当f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（2）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值跟随切线”，
则k_AB=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$=$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$-$\frac{a{（x}_{2}{+x}_{1}）}{2}$+a-1，
f′（ $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{2}{+x}_{1}}$-$\frac{a{（x}_{2}{+x}_{1}）}{2}$+a-1，
又k_AB=f′（ $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）得 $\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$=$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$，
∴ln $\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t，（t＞1），则lnt=2-$\frac{4}{t+1}$，（t＞1），此式表示有大于1的实数根，
令h（t）=lnt+$\frac{4}{t+1}$-2（t＞1），则h′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0
∴h（t）是（1，+∞）上的增函数，
∴h（t）＞h（1）=0，与lnt=2-$\frac{4}{t+1}$，（t＞1）有大于1的实数根相矛盾，
∴函数f（x）的图象上不存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值跟随切线”．

点评 此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道综合题，属难题．