Question

16．已知函数$f（x）=1+2sin（{2ωx+\frac{π}{6}}）$（其中0＜ω＜2），若直线$x=\frac{π}{6}$是函数f（x）图象的一条对称轴．
（1）求ω及f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）$x∈[{-\frac{π}{2}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$的单调减区间．
（3）若f（x）与g（x）关于$（{\frac{π}{4}\;，\;\;0}）$对称，求g（x）在区间$[{0\;，\;\;\frac{π}{2}}]$的值域．

Answer 1

分析 （1）根据对称性求得ω的值，从而得到函数的解析式，由此求得它的周期．
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，求得x的范围，即可得到函数的单调减区间．
（3）求出g（x）的解析式，再求g（x）在区间$[{0\;，\;\;\frac{π}{2}}]$的值域．

解答 解：（1）由题可知：2$ω•\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，故有ω=3k+1．
又∵0＜ω＜1，∴ω=1．…（3分）
∴f（x）=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由此可得函数的周期为T=π．…（5分）
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，可得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，…（7分）
∵$x∈[{-\frac{π}{2}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$
故函数f（x）在$x∈[{-\frac{π}{2}\;，\;\;\frac{π}{2}}]$的单调减区间为[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．…（10分）
（3）g（x）上取点（x，y），关于$（{\frac{π}{4}\;，\;\;0}）$对称的点的坐标为（$\frac{π}{2}$-x，-y），
代入f（x）=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$），可得g（x）=-1-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
x∈$[{0\;，\;\;\frac{π}{2}}]$，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴g（x）在区间$[{0\;，\;\;\frac{π}{2}}]$的值域为[-3，0]．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的对称性、周期性及求法，求函数y=Asin（ωx+∅）单调区间，属于中档题．