Question

14．下列函数中，既是偶函数又在区间[0，+∞）上单调递增的是（　　）

• A． x^-2
• B． |lnx|
• C． x³
• D． 2^x+2^-x

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．

解答 解：A．f（x）=x^-2=$\frac{1}{{x}^{2}}$，则函数f（x）为偶函数，在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．
B．f（x）=ln|x|，当x=0时，函数无意义，则函数f（x）为非奇非偶函数，不满足条件．
C．f（x）=x³，则函数f（x）为奇函数，在（0，+∞）上为增函数，不满足条件．
D．f（x）=2^x+2^-x，则f（-x）=2^-x+2^x=f（x），为偶函数，
设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=${2}^{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-${2}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$=${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$=${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$+$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$）
=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）•$\frac{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，${2}^{{x}_{1}}$＞1，${2}^{{x}_{2}}$＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）•$\frac{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$＜0，
则f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，满足条件．
故选：D

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数单调性和奇偶性的定义和性质是解决本题的关键．