Question

(2014·贵阳模拟)一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E-ABC组合而成,点A,B,C在圆O的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC.AE=2.

(1)求证：AC⊥BD.

(2)求三棱锥E-BCD的体积.

 

Answer 1

（1）见解析 （2）

【解析】(1)因为EA⊥平面ABC,AC?平面ABC,所以EA⊥AC,即ED⊥AC.

又因为AC⊥AB,AB∩ED=A,所以AC⊥平面EBD.

因为BD?平面EBD,所以AC⊥BD.

(2)因为点A,B,C在圆O的圆周上,且AB⊥AC,所以BC为圆O的直径.

设圆O的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,

解得

所以BC=4,AB=AC=2.

以下给出求三棱锥E-BCD体积的两种方法：

方法一：由(1)知,AC⊥平面EBD,

所以VE-BCD=VC-EBD=S△EBD×CA,

因为EA⊥平面ABC,AB?平面ABC,

所以EA⊥AB,即ED⊥AB.

其中ED=EA+DA=2+2=4,

因为AB⊥AC,AB=AC=2,

所以S△EBD=ED×AB=×4×2=4,

所以VE-BCD=×4×2=.

方法二：因为EA⊥平面ABC,

所以VE-BCD=VE-ABC+VD-ABC=S△ABC×EA+

S△ABC×DA=S△ABC×ED.

其中ED=EA+DA=2+2=4,

因为AB⊥AC,AB=AC=2,

所以S△ABC=×AC×AB=×2×2=4,

所以VE-BCD=×4×4=.