Question

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，tanC=$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求tanB和tanA；    
（Ⅱ）若c=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanB的值，利用两角和的正切函数公式可求tan（B+C），利用三角形内角和定理，诱导公式即可得解tanA的值．
（II）结合范围0°＜A＜180°，由（I）可得A=135°，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，sinB，sinC的值，利用正弦定理可求a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（I）在△ABC中，∵cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴B为锐角，tanB=$\frac{1}{2}$，…（2分）
又tanC=$\frac{1}{3}$，tan（B+C）=$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1，…（5分）
∴tanA=tan[180°-（B+C）]=-tan（B+C），
∴tanA=-1．    …（7分）
（II）  因0°＜A＜180°，由（I）结论可得：A=135°，…（8分）
∴在△ABC中，B，C均为锐角
∵cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，tanC=$\frac{1}{3}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．…（11分）
∴由$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，得a=$\sqrt{5}$，…（13分）
故△ABC的面积为：S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$．…（14分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．