Question

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinA-cosB=2sinBcosC，且角B为钝角．
（1）求角C的大小；
（2）若a=2，b²+c²-a²=$\frac{8}{5}$bc，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知，结合cosB≠0，可求sinC=$\frac{1}{2}$，结合C为锐角，可得C的值．
（2）由已知及余弦定理可得cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用正弦定理可求c，利用两角和的正弦函数公式可求sinB，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵2sinA-cosB=2sinBcosC，
∴2（sinBcosC+sinCcosB）=2sinBcosC+cosB，可得：2sinCcosB=cosB，
∵角B为钝角，cosB≠0，
∴sinC=$\frac{1}{2}$，
∴由C为锐角，可得：C=$\frac{π}{6}$．
（2）∵a=2，b²+c²-a²=2bccosA=$\frac{8}{5}$bc，
可得：cosA=$\frac{4}{5}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，
∴c=$\frac{a•sinC}{sinA}$=$\frac{2×\frac{1}{2}}{\frac{3}{5}}$=$\frac{5}{3}$，
sinB=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×2×$$\frac{5}{3}$×$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．