Question

8．已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n满足S_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}{a_n}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），Tn=$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+…+$\frac{1}{bn}$，求T₂₀₁₂．

Answer 1

分析 （1）根据n≥2时，a_n=S_n-S_n-1的关系进行求解即可．
（2）求出b_n的表达式，利用裂项法进行求解即可．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=$\frac{1}{3}$，…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
又S_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n，从而有${a_n}=（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a_n}）-（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a_{n-1}}）$
即：${a_n}=\frac{1}{3}{a_{n-1}}$．…（3分）
所以数列{a_n}是首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，…（4分）
故${a_n}=\frac{1}{3^n}$．…（6分）
（2）由已知可得f（a_n）=log₃（$\frac{1}{3}$）ⁿ=-n，…（7分）
则b_n=-1-2-3-…-n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，…（8分）
故$\frac{1}{bn}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），…（9分）
又T_n=-2[1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=-2（1-$\frac{1}{n+1}$），（11分）
所以T₂₀₁₂=-2（1-$\frac{1}{2013}$）=-$\frac{4024}{2013}$．…（12分）

点评 本题主要考查数列通项公式以及数列求和的计算，根据n≥2时，a_n=S_n-S_n-1的关系以及利用裂项法进行求和是解决本题的关键．