Question

12．设由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{y+2≥0}\\{x+y+2≤0}\end{array}\right.$表示的平面区域为Ω，P∈Ω，过点P作圆O：x²+y²=1的两条切线，切点分别为A、B，记∠APB=α，则当α最小时，cosα=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{95}}{10}$
• B． $\frac{19}{20}$
• C． $\frac{9}{10}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 依据不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{y+2≥0}\\{x+y+2≤0}\end{array}\right.$，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，确定α最小时点P的位置，最后利用二倍角公式计算即可．

解答 解：如图阴影部分表示不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{y+2≥0}\\{x+y+2≤0}\end{array}\right.$，确定的平面区域，
当P离圆O最远时α最小，此时点P坐标为：（-4，-2），
记∠APO=β，则α=2β，则sinβ=$\frac{AO}{PO}$=$\frac{1}{2\sqrt{5}}$，
则cosα=cos2β=1-2sin²β=1-2×（$\frac{1}{2\sqrt{5}}$）²，
计算得cosα=$\frac{9}{10}$，
故选：C．

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．