Question

6．在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，4sin²$\frac{A+C}{2}-cos2B=\frac{7}{2}$
（Ⅰ）求角B的度数   
（Ⅱ）若b=$\sqrt{3}$，a+c=3，求a和c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形内角和定理，诱导公式，二倍角公式化简已知等式可得2cos²B-2cosB+$\frac{1}{2}$=0，解得cosB=$\frac{1}{2}$，结合B的范围即可得解B的值．
（Ⅱ）由已知及余弦定理可得：3=a²+c²-ac，结合a+c=3，配方可得ac=2，解方程组即可得解a，c的值．

解答 解：（Ⅰ）∵4sin²$\frac{A+C}{2}-cos2B=\frac{7}{2}$，
∴4sin²$\frac{π-B}{2}$-cos2B=$\frac{7}{2}$，可得：4cos²$\frac{B}{2}$-cos2B=$\frac{7}{2}$，
∴2（1+cosB）-（2cosB²-1）=$\frac{7}{2}$，整理可得：2cos²B-2cosB+$\frac{1}{2}$=0，
∴解得：cosB=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$，a+c=3①，
∴由余弦定理可得：3=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=9-3ac，解得：ac=2②，
∴由①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，二倍角公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了配方法的应用及转化思想，属于中档题．