Question

5．若钝角三角形的三边长和面积都是整数，则称这样的三角形为“钝角整数三角形”，下列选项中能构成一个“钝角整数三角形”三边长的是（　　）

• A． 2，3，4
• B． 2，4，5
• C． 5，5，6
• D． 4，13，15

Answer 1

分析 设三角形的最大角为θ，则利用余弦定理可求cosθ，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，利用三角形面积公式可求三角形面积，逐一判断各个选项即可．

解答 解：设三角形的最大角为θ，则：
对于A，cosθ=$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}-{4}^{2}}{2×2×3}$=-$\frac{1}{4}$，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，S=$\frac{1}{2}$×2×3×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，不能；
对于B，cosθ=$\frac{4+16-25}{2×2×4}$=-$\frac{5}{16}$，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{231}}{16}$，S=$\frac{1}{2}$×2×4×$\frac{\sqrt{231}}{16}$=$\frac{\sqrt{231}}{4}$，不能；
对于C，cosθ=$\frac{25+25-36}{2×5×5}$=$\frac{7}{25}$，故三角形为锐角三角形，不符合条件；
对于D，cosθ=$\frac{16+169-225}{2×4×13}$=-$\frac{5}{13}$，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{12}{13}$，S=$\frac{1}{2}$×4×13×$\frac{12}{13}$=24，符合条件；
故选：D．

点评 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．