Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），点（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆C上，点T满足$\overrightarrow{OT}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}$•$\overrightarrow{OF}$（其中O为坐标原点），过点F作一斜率为k（k＞0）的直线交椭圆于P、Q两点（其中P点在x轴上方，Q点在x轴下方）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若k=1，求△PQT的面积；
（3）设点P′为点P关于x轴的对称点，判断$\overrightarrow{P′Q}$与$\overrightarrow{QT}$的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由题意列关于a，b的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程求得P，Q的坐标，由向量等式求得T的坐标，再由三角形面积公式求得△PQT的面积；
（3）设设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），得到P′的坐标，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得到x₁+x₂，x₁x₂，结合向量关系的坐标表示可得$\overrightarrow{P′Q}$与$\overrightarrow{QT}$共线．

解答 解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得a²=2，b²=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）设PQ：y=x-1，由$\left\{\begin{array}{l}{x=y+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3y²+2y-1=0，
解得：P（$\frac{4}{3}，\frac{1}{3}$），Q（0，-1），
由$\overrightarrow{OT}$=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}$•$\overrightarrow{OF}$=$\frac{2}{\sqrt{2-1}}•（1，0）=（2，0）$，得T（2，0），
∴${S}_{△PQT}=\frac{1}{2}$|FT|•|y₁-y₂|=$\frac{2}{3}$；
（3）判断：$\overrightarrow{P′Q}$与$\overrightarrow{QT}$共线．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则P′（x₁，-y₁），$\overrightarrow{P′Q}$=（x₂-x₁，y₂+y₁），$\overrightarrow{TQ}$=（x₂-2，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∵（x₂-x₁）y₂-（x₂-2）（y₁+y₂）=（x₂-x₁）k（x₂-1）-（x₂-2）（kx₁-k+kx₂-k）
=3k（x₁+x₂）-2kx₁x₂-4k=3k$•\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2k$•\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-4k
=k（$\frac{12{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}-4$）=0．
∴$\overrightarrow{P′Q}$与$\overrightarrow{QT}$共线．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，训练了利用平面向量的坐标运算判断两向量的平行关系，是中档题．