Question

2．（1-$\frac{1}{2}$x）（1+2$\sqrt{x}$）⁵展开式中x²的系数为60．

Answer 1

分析 （1-$\frac{1}{2}$x）（1+2$\sqrt{x}$）⁵展开式中x²的系数由（1+2$\sqrt{x}$）⁵展开式的x的系数与x²的系数分别乘以（1-$\frac{1}{2}$x）的系数组成，利用（1+2$\sqrt{x}$）⁵展开式的通项求出对应项的系数，即可计算出结果．

解答 解：（1+2$\sqrt{x}$）⁵展开式的x的系数与x²的系数分别乘以（1-$\frac{1}{2}$x）组成，
且（1+2$\sqrt{x}$）⁵展开式的通项为
T_r+1=C₅^r•（2$\sqrt{x}$）^r=2^r•${C}_{5}^{r}$•${x}^{\frac{r}{2}}$，
令$\frac{r}{2}$=1，得r=2，故（1+2$\sqrt{x}$）⁵展开式的x的系数为2²•${C}_{5}^{2}$=40，
令$\frac{1}{2}$r=2，得r=4，故（1+2$\sqrt{x}$）⁵展开式的x²的系数为2⁴•C₅⁴=80，
故（1-$\frac{1}{2}$x）（1+2$\sqrt{x}$）⁵展开式中x²的系数是1×80-$\frac{1}{2}$×40=60．
故答案为：60．

点评 本题主要考查了等价转化的能力、利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题，是基础题目．