Question

7．已知f（x）=|x-m|+2m．
（1）若不等式f（x）≤2的解集为单元素集，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，若存在x₀∈R，使得f（x₀）+f（-x₀）≤a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先解不等式，再利用不等式f（x）≤2的解集为单元素集，求实数m的值；
（2）存在x₀∈R，使得f（x₀）+f（-x₀）≤a成立，则|x₀-1|+2+|-x₀-1|+2≤a，即|x₀-1|+|-x₀-1|≤a-4，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意|x-m|≤2-2m，
∴3m-2≤x≤2-m，
∵不等式f（x）≤2的解集为单元素集，
∴3m-2=2-m，
∴m=1；
（2）f（x）=|x-1|+2，
存在x₀∈R，使得f（x₀）+f（-x₀）≤a成立，则|x₀-1|+2+|-x₀-1|+2≤a，
∴|x₀-1|+|-x₀-1|≤a-4，
∵|x₀-1|+|-x₀-1|≥|x₀-1-x₀-1|=2，
∴a-4≥2，
∴a≥6．

点评 本题考查绝对值不等式，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．