Question

已知圆x²+y²－2x－2y+1=0，点A(2a，0)，B(0，2b)且a>1，b>1。

(1)若圆与直线AB相切时，求AB中点的轨迹方程。

　　(2)若圆与AB相切时，且△AOB面积最小，求直线AB的方程及面积最小值。

 

Answer 1

答案：
解析：

如图:(1)设AB的中点M(x1，y1)， ∴x1=，y1=， 直线AB：bx+ay+2ab=0， ∵AB与圆相切，∴d=r，即， 化简得：2a+2b－2ab－1=0， ∴AB的中点轨迹方程为：2x1+2y1－2x1y1－1=0，x1>1，y1>1。 (2)设△AOB面积为S，则S=2ab=2a+2b－1=2(a+b)－1≥－1 =4－1S－+1≥0≤(舍)或+1， ∴S≥(+1)2=3+， 当且仅当a=b时等号成立，代入(1)式得：2a2－4a+1=0a=1±，∴a=1+，    ∴ 直线AB的方程：x+y－2－=0。