Question

15．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ²=$\frac{15}{1+2co{s}^{2}θ}$，直线l为2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$．
（1）判断曲线C与直线l的位置关系，写出直线l的参数方程；
（2）设直线l与曲线C的两个交点为A、B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C：ρ²=$\frac{15}{1+2co{s}^{2}θ}$，即ρ²+2ρ²cos²θ=15，利用互化公式可得：曲线C直角坐标方程．直线l为2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，展开可得：$2ρ（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=$\sqrt{3}$，化为直角坐标方程．直线l与y轴的交点P（0，$\sqrt{3}$）在椭圆的内部．即可得出：直线l的参数方程．
（2）把直线l的参数方程代入椭圆方程可得：t²+2t-8=0，可得|AB|=|t₁-t₂|．

解答 解：（1）曲线C：ρ²=$\frac{15}{1+2co{s}^{2}θ}$，即ρ²+2ρ²cos²θ=15，3x²+y²=15，可得：曲线C的直角坐标方程为$\frac{{y}^{2}}{15}+\frac{{x}^{2}}{5}$=1．
直线l为2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，展开可得：$2ρ（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=$\sqrt{3}$，化为：x-$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$=0．
直线l与y轴的交点P（0，$\sqrt{3}$）在椭圆的内部．
∴直线l与曲线C相交．则直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（2）把直线l的参数方程代入椭圆方程可得：t²+2t-8=0，
解得t₁=2，t₂=-4．
∴|AB|=|t₁-t₂|=6．

点评 本题考查了直线与椭圆相交弦长问题、极坐标的应用、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．