Question

6．已知a，b均为正数，且a+b=1，那么$\frac{3}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值是7+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由a，b均为正数，且a+b=1，可得$\frac{3}{a}$+$\frac{4}{b}$=（a+b）（$\frac{3}{a}$+$\frac{4}{b}$）=3+4+$\frac{3b}{a}$+$\frac{4a}{b}$，运用基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件．

解答 解：由a，b均为正数，且a+b=1，
可得$\frac{3}{a}$+$\frac{4}{b}$=（a+b）（$\frac{3}{a}$+$\frac{4}{b}$）=3+4+$\frac{3b}{a}$+$\frac{4a}{b}$
≥7+2$\sqrt{\frac{3b}{a}•\frac{4a}{b}}$=7+4$\sqrt{3}$，
当且仅当$\frac{3b}{a}$=$\frac{4a}{b}$，即a=2$\sqrt{3}$-3，b=4-2$\sqrt{3}$，
取得最小值7+4$\sqrt{3}$，
故答案为：7+4$\sqrt{3}$，

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．