Question

5．已知$cosα=\frac{3}{5}，0＜α＜π$，求
（1）$cos（{α-\frac{π}{6}}）$；
（2）$sin（{2α+\frac{π}{3}}）$．

Answer 1

分析 （1）由已知求得sinα，展开两角差的余弦求解；
（2）由已知求得sinα，进一步得到sin2α与cos2α的值，再展开两角和的正弦得答案．

解答 解：（1）由$cosα=\frac{3}{5}，0＜α＜π$，得$sinα=\frac{4}{5}$，
∴$cos（{α-\frac{π}{6}}）=cosαcos\frac{π}{6}+sinαsin\frac{π}{6}=\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{4}{5}×\frac{1}{2}=\frac{{3\sqrt{3}+4}}{10}$；
（2）由$cosα=\frac{3}{5}，0＜α＜π$，得$sinα=\frac{4}{5}$，
∴$sin2α=2sinαcosα=2×\frac{4}{5}×\frac{3}{5}=\frac{24}{25}$，$cos2α=2{cos^2}α-1=2×{（{\frac{3}{5}}）^2}-1=-\frac{7}{25}$，
∴$sin（{2α+\frac{π}{3}}）=sin2αcos\frac{π}{3}+cos2αsin\frac{π}{3}=\frac{24}{25}×\frac{1}{2}+（{-\frac{7}{25}}）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{24-7\sqrt{3}}}{50}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用，是基础题．