Question

2．若一个函数恰有两个零点，则称这样的函数为“双胞胎”函数，若函数f（x）=ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$+3（a≤0）为“双胞胎”函数，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． （-1，0）
• D． （-1，0]

Answer 1

分析 对a是否为0进行讨论，判断f（x）的单调性，求出f（x）的极大值，令极大值大于零即可．

解答 解：f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=a-$\frac{1}{x}$+$\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-x-a+1}{{x}^{2}}$．
（1）当a=0时，f（x）=-lnx-$\frac{1}{x}$+3，f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
且f（e^-2）=2-e²+3=5-e²＜0，f（1）=2，f（e³）=-$\frac{1}{{e}^{3}}$＜0，
∴f（x）在（0，1）和（1，+∞）上各有1个零点，符合题意．
（2）当a＜0时，令f′（x）=0得ax²-x-a+1=0，解得x=1或x=$\frac{1-a}{a}$．
∵a＜0，∴$\frac{1-a}{a}＜0$，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当当x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
g（x）的最大值为g（1）=2a+2，
∵f（x）为双胞胎函数，即f（x）有两个零点，
∴2a+2＞0，又a＜0，
∴-1＜a＜0．
综上，a的取值范围是（-1，0]．
故选：D．

点评 本题考查了函数零点个数与函数极值的关系，函数单调性的判断，属于中档题．