题目内容
8．已知Sn=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，若Sm=9，则m=（ ）| A． | 11 | B． | 99 | C． | 120 | D． | 121 |
分析 根据裂项求和即可得到答案．
解答 解：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
∴Sn=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$$-\sqrt{2}$）+…+（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）=$\sqrt{n+1}$-1，
∵Sm=9，
∴$\sqrt{m+1}$-1=9，
解得m=99，
故选：B．
点评 本题给出一个特殊的数列，在已知前m项的和的情况下，求正整数m的值，着重考查了数列求和中裂项累加的方法，属于中档题．
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