Question

7．在矩形ABCD中，以DA所在直线为x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点B的坐标为（3，2），E、F为AD的两个三等分点，AC和BF交于点G，△BEG的外接圆为⊙H．
（1）求证：EG⊥BF；
（2）求⊙H的方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知A，B，C，F的坐标，进而求得AC和BF的直线方程，联立求得焦点G的坐标，进而求得EG，BF的斜率，根据二者的乘积为-1判断出EG⊥BF；
（2）求得圆心和半径，进而求得圆的标准方程．

解答 （1）证明：由题意，A（3，0），B（3，2），C（-3，2），F（-1，0）．
所以直线AC和直线BF的方程分别为：x+3y-3=0，x-2y+1=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3}{5}$，y=$\frac{4}{5}$，
所以G点的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
所以k_EG=-2，K_BF=$\frac{1}{2}$，
因为k_EG•k_BF=-1，所以EG⊥BF，
（2）解：⊙H的圆心为BE中点H（2，1），
半径为BH=$\sqrt{2}$，
所以⊙H方程为（x-2）²+（y-1）²=2．

点评 本题主要考查了直线与直线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．