Question

10．在等比数列{a_n}中，a₁=2，公比q＞0，其中-8a₁，a₂，a₃成等差数列
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由-8a₁，a₂，a₃成等差数列，可得2a₂=-8a₁+a₃，代入解出即可得出．
（II）b_n=log₂a_n=2n-1．可得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）∵-8a₁，a₂，a₃成等差数列，∴2a₂=-8a₁+a₃，
∴2×2q=-8×2+2q²，化为：q²-2q-8=0，q＞0，解得q=4．
∴a_n=2×4^n-1=2^2n-1．
（II）b_n=log₂a_n=2n-1．
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．