Question

4．已知函数y=$\frac{1}{2}$log_a（a²x）•log_a（ax）（2≤x≤4）的最大值是0，最小值是-$\frac{1}{8}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 y=$\frac{1}{2}$log_a（a²x）•log_a（ax）=$\frac{1}{2}$（2+log_ax）•（1+log_ax），设t=log_ax，则y=$\frac{1}{2}$（2+t）（1+t）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，由此利用二次函数的性质进行分类讨论，能求出实数a的值．

解答 解：y=$\frac{1}{2}$log_a（a²x）•log_a（ax）=$\frac{1}{2}$（log_aa²+log_ax）•（log_aa+log_ax）=$\frac{1}{2}$（2+log_ax）•（1+log_ax），
设t=log_ax，则y=$\frac{1}{2}$（2+t）（1+t）=$\frac{1}{2}$（t²+3t+2）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$
这个二次函数是顶点为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{8}$），对称轴为t=-$\frac{3}{2}$，开口向上的抛物线，
当-$\frac{1}{8}$≤y≤0时，解得-2≤t≤-1，
当y=0时，解得t₁=-1，t₂=-2，
x∈[2，4]时，y的取值范围是[-$\frac{1}{8}$，0]，
①t=log_ax=-1，x=2，则a=$\frac{1}{2}$，
当t=log_a4=-2时，y=0，符合题意；
②t=log_ax=-1，x=4，则a=$\frac{1}{4}$，
当t=log_a2=-时，y＞0，不符合题意；
③t=log_ax=-2，x=2，则a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当t=log_a4=-4时，y＞0，不符合题意；
④t=log_ax=-2，x=4，则a=$\frac{1}{2}$，
当t=log_a2=-1时，y=0，符合题意．
综上，实数a的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查实数a的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二次函数的性质和分类讨论思想的合理运用．