Question

11．（1）求证：$\frac{1-2sinxcosx}{{{{cos}^2}x-{{sin}^2}x}}=\frac{1-tanx}{1+tanx}$
（2）已知tanθ+sinθ=a，tanθ-sinθ=b，求证：（a²-b²）²=16ab．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系化简等式的坐标，可得它等于等式的右边，从而证得等式成立．
（2）利用同角三角函数的基本关系化简等式的左边为$\frac{16{•sin}^{4}θ}{{cos}^{2}θ}$，同理化简等式的右边也等于$\frac{16{•sin}^{4}θ}{{cos}^{2}θ}$，从而证得等式成立．

解答 解：证明：∵$\frac{1-2sinxcosx}{{cos}^{2}x{-sin}^{2}x}$=$\frac{{cos}^{2}x{+sin}^{2}x-2sinxcosx}{{cos}^{2}x{-sin}^{2}x}$=$\frac{{（cosx-sinx）}^{2}}{（cosx-sinx）•（cosx+sinx）}$=$\frac{cosx-sinx}{cosx+sinx}$=$\frac{1-tanx}{1+tanx}$，
∴$\frac{1-2sinxcosx}{{{{cos}^2}x-{{sin}^2}x}}=\frac{1-tanx}{1+tanx}$成立．
（2）证明：∵tanθ+sinθ=a，tanθ-sinθ=b，∴（a²-b²）²=[（a+b）•（a-b）]²=（2tanθ•2sinθ）²=$\frac{1{6sin}^{4}θ}{{cos}^{2}θ}$，
再根据16ab=16（tan²θ-sin²θ）=16$\frac{{sin}^{2}θ{-sin}^{2}θ{•cos}^{2}θ}{{cos}^{2}θ}$=16•$\frac{{sin}^{2}θ•（1{-cos}^{2}θ）}{{cos}^{2}θ}$=$\frac{16{•sin}^{4}θ}{{cos}^{2}θ}$，
∴（a²-b²）²=16ab 成立．

点评 题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．