Question

10．直三棱柱A₁B₁C₁-ABC，$∠ACB=\frac{π}{2}，AC=BC=2，C{C_1}=2\sqrt{2}$，E，F，H为AC，B₁C₁，BB₁的中点，
（1）证明：EF∥平面AA₁B₁B；
（2）求异面直线EF与C₁H所成角．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点O，连接OE，OB₁，证明B₁FEO是平行四边形，可得EF∥B₁O，利用线面平行的判定定理证明EF∥平面AA₁B₁B；
（2）证明C₁H⊥平面CEF，即可求异面直线EF与C₁H所成角．

解答 （1）证明：取AB的中点O，连接OE，OB₁，则OE∥DC，OE=$\frac{1}{2}$DC，

∵F为B₁C₁的中点，
∴OE∥B₁F，OE=B₁F
∴B₁FEO是平行四边形，
∴EF∥B₁O，
∵EF?平面AA₁B₁B，B₁O?平面AA₁B₁B，
∴EF∥平面AA₁B₁B；
（2）解：连接CF，则
∵CC₁=2$\sqrt{2}$，BC=2，F，H为B₁C₁，BB₁的中点
∴△CC₁F∽△C₁B₁H，
∴∠C₁CF=∠C₁B₁H，
∴C₁H⊥CF，
∵C₁H⊥CE，CE∩CF=C，
∴C₁H⊥平面CEF，
∵EF?平面CEF，
∴C₁H⊥EF，
∴异面直线EF与C₁H所成角为$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查异面直线所成角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．