Question

4．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l与椭圆有两个不同的交点，求m的取值范围；  
（3）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可求得a²=4b²，可设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，再把点M（4，1）代入即可；
（2）把y=x+m代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$，整理，利用△＞0即可求得m的取值范围；
（3）由（2）可得到两根之和、两根之积，设直线MA，MB斜率分别为k₁和k₂，化简k₁+k₂ 的结果等于0，即说明MB与x轴所围的三角形为等腰三角形．

解答 （1）解：∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，得a²=4b²，则椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，把点（4，1）代入，得b²=5，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）解：把y=x+m代入椭圆方程得：5x²+8mx+4m²-20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，
∴△=64m²-4×5（4m²-20）＞0，整理得m²＜25，
∴-5＜m＜5；
（3）证明：直线MA，MB斜率分别为k₁和k₂，只要证k₁+k₂=0即可．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由（2）得：
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8m}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-20}{5}$，
∴${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-4}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-4}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-4）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$．
而此分式的分子等于（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）=$\frac{2（4{m}^{2}-20）}{5}$$-\frac{8m（m-5）}{5}-8（m-1）=0$，可得k₁+k₂=0，
因此MA，MB与x轴所围的三角形为等腰三角形．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，着重考查待定系数法求椭圆的方程及方程思想与化归思想，属于中档题．