Question

4．已知函数f（x）=e^x+ax²+bx+c，a，b，c∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为3x-y+2=0，求b，c的值；
（2）若b=0，且f（x）在$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，由题意可得f（0）=2，f′（0）=3，解方程组可得b，c的值；
（2）求得b=0时，f（x）的导数，由题意可得e^x+2ax≥0，即有a≥-$\frac{{e}^{x}}{2x}$在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．令g（x）=-$\frac{{e}^{x}}{2x}$，求出导数和单调区间，可得g（x）的最大值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x+ax²+bx+c的导数为f′（x）=e^x+2ax+b，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}f（0）=2\\ f'（0）=3\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}1+c=2\\ 1+b=3\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=1\end{array}\right.$；
（2）b=0时，f（x）=e^x+ax²+c，导数f′（x）=e^x+2ax，
由f（x）在$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上单调递增，可得f′（x）≥0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
即e^x+2ax≥0，即有a≥-$\frac{{e}^{x}}{2x}$在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．
令$g（x）=-\frac{e^x}{2x}，x∈[{\frac{1}{2}，+∞}）$，
则$g'（x）=-\frac{{2{e^x}•x-2{e^x}}}{{4{x^2}}}=-\frac{{{e^x}（{1-x}）}}{{2{x^2}}}⇒g（x）$在$[{\frac{1}{2}，1}）$上递增，在（1，+∞）上递减，
∴g（x）_max=g（1）=-$\frac{e}{2}$，
∴$a≥-\frac{e}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分离参数和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．