Question

3．已知x，y，z均为实数，且满足x²+2y²+z²=1．则$\sqrt{5}$xy+2yz+$\sqrt{2}$z²的最大值为$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 构造得出x²+2y²+z²=（x²+$\frac{2}{5}$y²）+（$\frac{8}{5}$y²+$\frac{1}{5}$z²）$+\frac{4}{5}$z²，再用基本不等式求最值即可．

解答 解：∵x，y，z均为实数，且满足x²+2y²+z²
x²+2y²+z²=（x²+$\frac{2}{5}$y²）+（$\frac{8}{5}$y²+$\frac{1}{5}$z²）$+\frac{4}{5}$z²≥$\frac{2\sqrt{10}}{5}$xy+$\frac{4\sqrt{2}}{5}$yz$+\frac{4}{5}$z²=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$（$\sqrt{5}$xy+2yz+$\sqrt{2}$z²），
∴1≥$\frac{2\sqrt{2}}{5}$（$\sqrt{5}$xy+2yz+$\sqrt{2}$z²），
（$\sqrt{5}$xy+2yz+$\sqrt{2}$z²）$≤\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当x²=$\frac{2}{5}$y²，$\frac{8}{5}$y²=$\frac{1}{5}$z²，
即x²=$\frac{2}{52}$，y²=$\frac{5}{52}$，z²=$\frac{40}{52}$，
故答案为：$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查了基本不等式在求值问题中的应用，以及取等条件的分析，属于中档