Question

1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a²+b²-c²）sinA=ab（sinC+2sinB），a=1．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，可得sinC（1+2cosA）=0，
结合sinC≠0，可得cosA=-$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可求A的值．
（2）由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}=\frac{2\sqrt{3}sinB}{3}$，c=$\frac{2\sqrt{3}sinC}{3}$，利用三角函数恒等变换的应用可得△ABC的周长l=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$），由范围B∈（0，$\frac{π}{3}$），可求范围B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），利用正弦函数的图象和性质即可得解周长的求值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵（a²+b²-c²）sinA=ab（sinC+2sinB），
∴由余弦定理可得：2abcosCsinA=ab（sinC+2sinB），
∴2cosCsinA=sinC+2sin（A+C），化简可得：sinC（1+2cosA）=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{2π}{3}$…（5分）
（2）∵A=$\frac{2π}{3}$，a=1，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}=\frac{2\sqrt{3}sinB}{3}$，c=$\frac{2\sqrt{3}sinC}{3}$，
∴△ABC的周长l=a+b+c=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（$\frac{π}{3}$-B）]
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{1}{2}sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB$）
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$），
∵B∈（0，$\frac{π}{3}$），
∴B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（B+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴△ABC的周长l=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$）∈（2，1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．