Question

16．已知矩阵A=$[\begin{array}{l}{2}&{-2}\\{0}&{1}\end{array}]$，设曲线C：（x-y）²+y²=1在矩阵A对应的变换下得到曲线C′，求C′的方程．

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀）为曲线C上任意一点，点P在矩阵A对应的变换下得到点Q（x，y），利用$[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}]=[{\begin{array}{l}2&{-2}\\ 0&1\end{array}}][\begin{array}{l}{x_0}\\{y_0}\end{array}]$，推出$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{x}{2}+y\\{y_0}=y\end{array}\right.$，然后求解曲线C′的方程．

解答 解：设P（x₀，y₀）为曲线C上任意一点，点P在矩阵A对应的变换下得到点Q（x，y），
则：$[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}]=[{\begin{array}{l}2&{-2}\\ 0&1\end{array}}][\begin{array}{l}{x_0}\\{y_0}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}x=2{x_0}-2{y_0}\\ y={y_0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{x}{2}+y\\{y_0}=y\end{array}\right.$，…（5分）
（注：用逆矩阵的方式求解同样给分）
又${（{x_0}-{y_0}）^2}+{y_0}^2=4$，∴${（\frac{x}{2}+y-y）^2}+{y^2}=1$，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
∴曲线C′的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（10分）

点评 本题考查矩阵的变换，曲线方程的求法，考查计算能力．