Question

17．①已知复数z满足|z|-z=$\frac{10}{1-2i}$，求z．
②用数学归纳法证明：n³+5n（n∈N^*）能被6整除．

Answer 1

分析 ①设z=a+bi，a，b∈R，利用两个复数相等的充要条件，得到关于a，b的方程组，解得即可，
②先验证n=1成立，再假设n=k成立，推导n=k+1成立即可．

解答 解：①设z=a+bi，a，b∈R，
∵|z|-z=$\frac{10}{1-2i}$=$\frac{10（1+2i）}{（1-2i）（1+2i）}$=2+4i，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$-a-bi=2+4i，
即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}-a=2}\\{-b=4}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=4，
故z=3+4i，
②：（1）当n=1时，1³+5=6，显然能被6整除，
（2）假设n=k时，k³+5k，（k∈N^*）能被6整除
则当n=k+1时，（k+1）³+5（k+1）=（k³+5k）+3k（k+1）+6，
由于假设k³+5k能够被6整除，而k（k+1）能够被2整除，因此3k（k+1）+6能够被6整除，
故当n=k+1时，能被6整除，
由（1），（2）可知n³+5n（n∈N^*）能被6整除

点评 本题考查复数的模的定义，两个复数相等的充要条件，考查了数学归纳法、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．