Question

9．已知函数f（x）=ax²-x+2a-1（a为实常数）．
（1）设h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，若a=-1，求证：函数h（x）在区间$（0，\sqrt{3}]$上是增加的；
（2）若函数f（x）在区间[4，5]上是单调递减的，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设0$＜{x}_{1}＜{x}_{2}≤\sqrt{3}$，计算并化简h（x₁）-h（x₂），即可得出结论；
（2）对a进行讨论，判断f（x）的函数类型和开口方向，得出对称轴的范围即可解出a的范围．

解答 解：（1）$h（x）=-x-1-\frac{3}{x}$，
在区间$（0，\sqrt{3}]$上任取x₁、x₂，且x₁＜x₂
则$h（{x_1}）-h（{x_2}）=-{x_1}-1-\frac{3}{x_1}-（-{x_2}-1-\frac{3}{x_2}）$
=$（{x_2}-{x_1}）+3（\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}）$=$\frac{{（{x_2}-{x_1}）（{x_1}{x_2}-3）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵$0＜{x_1}＜{x_2}≤\sqrt{3}$，∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，x₁x₂-3＜0，
∴h（x₁）-h（x₂）＜0，即h（x₁）＜h（x₂）
∴函数h（x）在区间$（0，\sqrt{3}]$上是增函数．
（2）①当a=0时，f（x）=-x-1在区间[4，5]上是递减的，符合题意；     
②当a＞0时，由题意得函数f（x）的对称轴$x=\frac{1}{2a}≥5$，解得$a≤\frac{1}{10}$，∴$0＜a≤\frac{1}{10}$；
③当a＜0时，由题意得函数f（x）的对称轴$x=\frac{1}{2a}≤4$，解得$a≤\frac{1}{8}$，∴a＜0；     
综上所述，a的取值范围是：$\{a|a≤\frac{1}{10}\}$．

点评 本题考查了函数单调性的证明，二次函数的单调性，属于中档题．